菱形

小 A 想绘制一个菱形。具体来说，需要绘制的菱形是一个 $n$ 行 $n$ 列的字符画，$n$ 是一个大于 $1$ 的奇数。菱形的四个顶点依次位于第 $1$ 行、第 $1$ 列、第 $n$ 行、第 $n$ 列的正中间，使用 # 绘制。相邻顶点之间也用 # 连接。其余位置都是 .。

例如，一个 $5$ 行 $5$ 列的菱形字符画是这样的：

..#..
.#.#.
#...#
.#.#.
..#..

给定 $n$，请你帮小 A 绘制对应的菱形。

输入格式

一行，一个正整数 $n$。

输出格式

输出共 $n$ 行，表示对应的菱形。

样例

输入样例 1

3

输出样例 1

.#.
#.#
.#.

输入样例 2

9

输出样例 2

....#....
...#.#...
..#...#..
.#.....#.
#.......#
.#.....#.
..#...#..
...#.#...
....#....

数据范围

对于所有测试点，保证 $3 \leq n \leq 29$ 并且 $n$ 为奇数。

解题思路分析

题目给出的 $n$ 保证是一个奇数，且菱形的中心点坐标正好是整个正方形的中心。如果我们将坐标从 0 到 n-1 进行编号：

• 中心点坐标为：$cx = n / 2$, $cy = n / 2$（利用 C++ 整数除法自动向下取整）。

对于图形中的任意一个点 $(i, j)$，它到中心点 $(cx, cy)$ 的曼哈顿距离（即横向距离加上纵向距离）为：

$|i - cx| + |j - cy|$

观察菱形的边缘特征可以发现：

• 菱形的边界上的所有点，到中心点的曼哈顿距离正好等于 $n / 2$。
• 其他不在边界上的点，其曼哈顿距离不等于 $n / 2$。

因此，我们只需要用两重循环遍历 $n \times n$ 的网格，对于每一个点 $(i, j)$，判断 abs(i - n/2) + abs(j - n/2) == n/2 是否成立。如果成立则输出 #，否则输出 .。

曼哈顿距离

曼哈顿距离（Manhattan Distance），又称城市街区距离或 L1 距离，是指两点在标准坐标系上的绝对轴距总和。在二维平面中，它表示沿水平和垂直方向走过的距离之和，即只能沿着网格线“直角行走”的最短路径。

基础公式（二维空间）

在平面直角坐标系中，设两个点分别为 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂)，它们之间的曼哈顿距离 d 计算公式为：

$d=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$

示例： 若从点 (1, 3) 走到点 (5, 6)，曼哈顿距离为：

$|1-5|+|3-6|=4+3=7$

高维推广（n维空间）

将定义拓展到多维空间，两点 $X(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 和 $Y(y_1, y_2, \dots, y_n)$ 之间的曼哈顿距离为它们在各个维度的坐标差绝对值总和：

$d=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|$

应用场景

• 城市规划与导航： 在道路呈网格状布局的城市（如曼哈顿）中，车辆无法穿楼而过，实际行驶的最短路径即为曼哈顿距离。
• 机器学习： 作为距离度量指标（L1范数）用于 KNN 分类算法、决策树及回归分析，有时其抗噪能力优于欧氏距离。
• 算法与图形学： 在计算机网格寻路（如 $A^{*}$ 算法的启发函数）和早期像素图形处理中，曼哈顿距离只需加减法运算，能避开计算昂贵的开平方操作，效率更高。

参考代码

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    int center = n / 2; // 中心点坐标

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            // 判断当前点到中心点的曼哈顿距离是否等于 n / 2
            if (abs(i - center) + abs(j - center) == center) {
                cout << '#';
            } else {
                cout << '.';
            }
        }
        cout << endl; // 换行
    }

    return 0;
}